Исчисляемый
Шрифт:
Например, набор всех вещественных чисел несчетно бесконечен. Он намного больше. Кантор нашел способ это доказать.
Предположим, что вещественные числа счетно бесконечны. В таком случае должна существовать биекция (то есть взаимно однозначное отображение одного множества в другое) от натуральных чисел к вещественным. Вещественные числа должны быть такими, что их можно подсчитывать. Поскольку каждое вещественное число может быть записано как бесконечная последовательность десятичных знаков – а если она не бесконечная, то достаточно добавлять к концу числа сколько угодно нолей, – то можно представить, что их перечень будет выглядеть примерно так:
Запомните,
Когда вы соедините эти новые цифры, вы получите новое вещественное число. Но это вещественное число, которое не существует нигде в списке. Оно отличается от первого числа в списке первой цифрой, от второго числа в списке второй цифрой, от третьего числа в списке третьей цифрой и так далее.
Можно создать бесконечно много таких вещественных чисел, которые нельзя найти в перечне, всего лишь проводя новые диагонали и заменяя цифры. Биекции от натуральных чисел к вещественным не будет. Как бы вы ни пытались расставлять вещественные числа, все больше и больше их станет проскальзывать у вас меж пальцев. Вещественные числа бесконечны, но это намного более крупная разновидность бесконечности, чем алеф-ноль. Вещественных чисел настолько больше, чем натуральных, что их невозможно сосчитать. Мы называем кардинальность этой несчетной бесконечности бет-один.
Но даже бет-один – все еще лишь очень малое трансфинитное число. Есть много других чисел, которые намного больше – настоящая бесконечность бесконечностей. Мы поговорим о них через несколько дней.
Когда Кантор впервые написал об их существовании, некоторые теологи сочли его работу серьезной угрозой. Они решили, что Кантор бросает вызов абсолютной бесконечности и трансцендентности бога.
Но даже просто знание того, что бет-один больше, чем алеф-ноль, позволяет увидеть некоторые замечательные вещи. Например, мы знаем, что рациональные числа исчислимы и имеют кардинальность алеф-ноль. Но вещественные числа представляют собой объединение набора рациональных чисел и набора – иррациональных чисел, и мы знаем, что вещественные числа имеют кардинальность бет-один.
Следовательно, набор иррациональных чисел должен иметь кардинальность большую, чем алеф-ноль, поскольку мы знаем, что удвоение алеф-ноль даст в результате тот же алеф-ноль, а не бет-один. По сути, мы доказали, что должно существовать несчетно много, или бет-один, иррациональных чисел.
Другими словами, существует намного больше иррациональных чисел, чем рациональных. Почти все вещественные числа иррациональны. И, приводя тот же аргумент, можно доказать, что почти все иррациональные числа трансцендентны и не алгебраичны, их нельзя вычислить как корень полинома с целыми коэффициентами. И даже если кажется, что
* * *
В учебнике от мисс By в начале каждой главы имелся поэтический эпиграф. Обычно Дэвиду стихи не нравились, потому что поэзия использовала тот же «язык под языком», на который он не был «настроен», со всяческими метафорами и сравнениями, которые его смущали. Но эти цитаты были иными, потому что отражали его чувства и мысли.
Ah, awful weight! Infinity
Pressed down upon the finite Me!
(Ax, ужасная тяжесть! Бесконечность
Давит на бесконечную меня!)
Edna St. Vincent Millay, Renascence
I am large, I contain multitudes.
(Я большой, внутри меня множество других.)
Walt Whitman, Song of Myself
Линии, которые он проводил, никогда не заполнят числовую прямую. Теперь он это понял. Иррациональное пространство между ними было бесконечным. Рисунок никогда не станет сплошным и не обретет смысл. Жизнь не может быть сведена к ее рациональным моментам.
Но даже рациональные моменты не было смысла подсчитывать. А с ним действительно все в порядке. Он наконец-то это понял. Разве не замечательно по-настоящему знать, что иррациональное – это правило, а не исключение? И даже больше – почти все иррациональное трансцендентно, хотя мы это почти не осознаем. Жизнь не имеет смысла. Ей он не нужен. И почему тогда теологи боялись Кантора? Ведь он открыл истину, достойную прославления. Лишь трансцендентно счастливые моменты следует подсчитывать.
Его мысли прервал вопль Бетти за дверью спальни; тут же закричала и малышка. Дэвида поразило, как это тельце может быть источником таких громких криков, оглушительных требований справедливости и здравого смысла, таких бесстрашных и одновременно печальных. Когда ребенок смолк, чтобы перевести дыхание, он расслышал приглушенный голос о чем-то умоляющей Бетти. Потом загремели брошенные на пол тарелки.
Он открыл дверь.
Было заметно, что Джек лишь немного пьян. Он твердо стоял на ногах. Длинные и гладкие волосы Бетти, которыми она так гордилась, были обмотаны вокруг руки Джека и зажаты в кулаке. Она стояла на коленях, вцепившись в его руку, держащую ее за волосы. Малышка лежала на кушетке, дрыгая руками и ногами, ее личико покраснело от плача и нехватки воздуха.
Может быть, Джека снова уволили с работы. Может быть, он поругался с вьетнамцем-бакалейщиком из соседнего магазинчика. Или ему не понравилось платье Бетти, когда он пришел домой. А может, малышка заплакала тогда, когда он не хотел ее слышать.
– Ты грязная шлюха, – сказал он негромко и спокойно. – Я преподам тебе урок. Кто он?
Бетти лишь всхлипывала, бессловесно отрицая его обвинения. Не выпуская волос, Джек стал бить ее в живот и по почкам.
«Он не бьет ее по лицу, – подумал Дэвид. – Это рационально. Иначе у соседей появятся вопросы».
Бетти все извинялась, пытаясь объяснить и понять смысл этого мира для себя и для Джека.
Дэвид словно онемел. Ему показалось, как будто внутри него поднимается сплошная горячая волна, проталкиваясь в горло и перехватывая дыхание. Он схватил Джека за руку, но тот швырнул его на пол.