Приглашение в теорию чисел

ОРЕ О.

3. Докажите, что произвольное k– угольное число выражается формулой

½ k (n² – n) — n² + 2n.

§ 5. Магические квадраты

Если вы играли в «шафлборд» [1] , вы можете вспомнить, что девять квадратов, на которых вы размещаете свои фишки, занумерованы числами от 1 до 9, расположенными так, как на рис. 7. Здесь числа в каждом столбце и в каждой строчке, а также в каждой из диагоналей, дают при сложении одно и то же число 15.

1

Игра с передвижением фишек по размеченной доске. (Прим.

перев.)

Рис. 7.

В общем случае магическим квадратом является расположение чисел от 1 до n² в виде квадрата так, что числа в каждом столбце, строчке и диагонали дают одинаковую сумму s, называемую магической суммой.

Пример магического квадрата с 4² = 16 числами изображен на рис. 8. Магическая сумма для него равна 34.

Рис. 8.

Для каждого числа n существует только одна магическая сумма s, которую легко найти. Так как сумма чисел в каждом столбце равна s, а столбцов — n, то сумма всех чисел в магическом квадрате равна ns.

Но сумма всех чисел от 1 до n² равна

1 + 2 +… + n² = ½ (n² + 1) n²,

что следует из формулы для суммы n членов арифметической прогрессии. Так как

n s = ½ (n² + 1) n²,

то

s = ½ n (n² + 1). (1.5.1)

Таким образом, если число n задано, то число s определено. Магические квадраты могут быть построены для любого числа n, которое больше 2; читатель легко может убедиться, что их не существует для n = 2.

Во времена средневековья странные свойства этих квадратов считались волшебными и поэтому магические квадраты служили талисманами, защищающими тех, кто их носил, от многих несчастий. Часто воспроизводится магический квадрат, присутствующий на знаменитой гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия» (она помещена на фронтисписе нашей книги). Этот квадрат воспроизведен с большим увеличением на рис. 9; при этом мы получили также возможность увидеть, как во времена Дюрера изображались цифры. Средние числа в последней строке изображают год, — 1514, в котором, как мы знаем, была создана эта гравюра. Возможно, что Дюрер, положив в основу именно эти числа, нашел остальные методом проб и ошибок. Можно доказать, что при n = 3 имеется лишь один магический квадрат, а именно квадрат, изображенный на рис. 7. Докажем этот факт. Для этого напишем числовой квадрат 3 × 3 в общем виде

x₁ y₁ z₁

x₂ y₂ z₂

x₃ y₃ z₃

и выясним, какими могут быть эти девять чисел.

Рис. 9.

Вначале покажем, что центральное число y₂ должно равняться 5. Из формулы (1.5.1) следует, что при n = 3 магическая сумма s равна 15. Просуммируем теперь числа во второй строке, втором столбце и обеих диагоналях. В эту сумму каждое число, кроме числа y₂,

входит по одному разу; число у₂ входит четыре раза, так как оно содержится в каждой из четырех сумм. Поэтому, так как каждая сумма равна s, то

4s = 4 × 15 = 60 =

= x₂ + y₂ + z₂ + y₁ + y₂ + y₃ + x₁ + у₂ + z₃ + z₁ + y₂ + x₃ = Зy₂ + x₁ + x₂ + x₃ + y₁ + y₂ + y₃ + z₁ + z₂ + z₃ =

= 3y₂ + 1 + 2 +… + 9 = 3y₂ + 45.

Следовательно,

Зy₂ = 60–45 = 15 и y₂ = 5.

В таблице

x₁ y₁ z₁

x₂ 5 z₂

x₃ y₃ z₃

число 9 не может стоять в углу, так как, если, например, x₁ = 9, то z₃ = 1 (потому что s = 15), т. е. мы получили бы таблицу

9 y₁ z₁

x₂ 5 z₂

x₃ y₃ 1

Каждое из четырех чисел y₁, z₁, x₂, х₃ должно быть меньше шести, так как y₁ + z₁ = х₂ + х₃ = 6. Но у нас осталось лишь три числа, меньших шести, а именно: 2, 3 и 4. Таким образом, получилось противоречие. Отсюда мы делаем вывод, что число 9 должно находиться в середине строки или столбца, поэтому наш квадрат может быть записан так:

x₁ 9 z₁

x₂ 5 z₂

x₃ 1 z₃

Число 7 не может быть в одной и той же строке с числом 9, так как тогда сумма чисел в этой строке была бы больше пятнадцати; точно так же число 7 не может быть в одной и той же строке с числом 1, так как тогда оставшееся в этой строке число должно было бы быть также семеркой. Таким образом, 7 не может находиться в углу, и мы можем считать, что наш квадрат имеет следующий вид: