3-адика

Иган Грег

Сагреда принесла кувшин с водой. – Давно ты проснулась? – спросила она, передавая девочке стакан.

– Давненько. – Люси выпила воду одним большим глотком, после чего вышла, чтобы воспользоваться ночным горшком. Вернувшись, она сказала: «Я ведь помогла вам закончить мандалу, не так ли? Так что вы просто обязаны раскрыть мне природу ее сил».

К этому вопросу Сагреда готовилась целый день. – Она перенесет нас в мир, где расстояния между числами не такие, как здесь.

Люси нахмурилась, но ее лицо выражало, скорее, интригу, чем снисхождение.

– Смотри,

все числа можно расположить на прямой линии, – объяснила Сагреда. – Как номера домов на одной улице. Тогда расстояние между двумя домами совпадет с разностью их номеров: номер двенадцать окажется на два дома дальше, чем десятый… в большинстве случаев. – В чем бы ни заключалась историческая правда, эта версия викторианского Лондона, похоже, так и не определилась, следует ли придерживаться последовательной нумерации домов на обеих сторонах улицы, или же перейти на более привычное основателями Сагреды правило «чет-нечет».

– То есть вы отправляетесь в мир, где дома стоят как попало? – предположила Люси.

– Пожалуй, хотя это и не объясняет всей сути. – Сагреда подошла к письменному столу, взяла лист бумаги и принялась вырисовывать небрежные чернильные овалы. – В «3-адике» числа похожи на яйца в воробьином гнезде. Ноль, единица и двойка занимают одно и то же гнездо, и расстояние между любыми двумя из них равно единице.

– Между единицей и двойкой один шаг, – сказала Люси. – И между нулем и двойкой… тоже?

– Именно, – подтвердила Сагреда. – Правила арифметики не меняются: два минус ноль по-прежнему равно двум, а не единице. Однако законы геометрии становятся другими, и расстояние уже не совпадает с разностью чисел.

– Но где же тройка? – спросила Люси. – Где семьдесят три?

– Каждое из нарисованных мной яиц, – ответила Сагреда, – само по себе является миниатюрным гнездом. Яйцо под номером 0 – это гнездо из чисел ноль, три и шесть. Яйцо под номером 1 – гнездо из чисел один, четыре, семь. Яйцо под номером 2 – гнездо из чисел два, пять, восемь. – Она вписала новые числа внутрь овалов.

– То, что вы написали, я вижу прекрасно, – признала Люси, – но я не понимаю, какой в этом смысл.

– Чем меньше гнездо, в котором находится пара чисел, тем они ближе друг к другу, – объяснила Сагреда. – Расстояние между нулем и единицей равно единице, потому что именно таков размер минимального гнезда, в котором находятся оба этих числа. Но если мы возьмем, к примеру, ноль и тройку, которые расположены в более мелком гнезде, расстояние между ними окажется меньше. Если говорить точнее, то оно будет равно одной трети – так же, как и расстояние между пятеркой и восьмеркой, или четверкой и семеркой.

– И дальше вы просто повторяете этот абсурд снова и снова? – спросила Люси.

Сагреда улыбнулась. – Именно. Каким бы большим ни было число, чтобы досчитать до него, ты просто заменяешь яйца на все более мелкие гнезда, по три штуки в каждом.

Какое-то время Люси сидела, размышляя над услышанным, но что-то, очевидно, не давало ей покоя. – Вы говорите, что расстояние между нулем и тройкой равно

одной трети, – наконец, сказала она. – Но где же среди этих гнезд находится сама одна треть? Я могу пройти треть расстояния между двумя домами и понимаю, что это означает на Бейкер-стрит, но как увязать это с воробьиными яйцами?

– Одну треть нужно искать снаружи первого гнезда. – Сагреда добавила еще два яйца – такого же размера, как и первое, – а затем заключила все три в еще больший овал. – Если ты добавишь одну треть к любому числу из первого гнезда, то окажешься во втором. Добавишь две трети – и попадешь в третье. Любые два числа, оказавшиеся в разных частях этого нового, большого гнезда, будут находиться на расстоянии в три единицы, потому что именно такой размер имеет окружающее их гнездо. И прежде чем ты спросишь, где находится одна девятая: на бумаге для нее не хватит места, но суть этой закономерности ты уже наверняка поняла.

Люси впитала ее слова, но вопросы на этом не закончились. – А как быть с одной второй?

Сагреда утомилась; ей пришлось сделать паузу и подумать. – Она находится внутри гнезда, с которого начался мой рисунок – где-то на единичном расстоянии от нуля.

– Но где именно? – не унималась Люси. – Разве для нее есть место? Мне понятно, что любое число, до которого я могу досчитать, можно выразить и при помощи этих яиц…, но как втиснуть туда еще одно?

Матис усмехнулся и вытянул руки над головой. – Отличный вопрос! – заметил он. – У моего друга ушел почти весь день, чтобы убедить меня в правильности ответа.

Сагреда на мгновение закрыла глаза и сосредоточилась. – Первым делом ты идешь к двойке. Затем добавляешь три и получаешь пять. Затем добавляешь девять, что дает в результате четырнадцать. Затем добавляешь двадцать семь… и так далее. На каждом следующем шаге ты добавляешь втрое больше, чем на предыдущем.

– И где же конец? – спросила Люси, лицо которой приняло настолько лукавое выражение, как будто она собиралась взять на себя роль кукушки и выкинуть оказавшееся в конце цепочки яйцо прямиком из гнезда.

– Нигде! – вмешался Матис. – Это продолжается до бесконечности! Что может показаться полной чепухой, однако в «3-адике» это не более абсурдно, чем путь Ахиллеса, который в нашем мире может пройти сначала половину дороги, потом четверть, потом восьмушку и так далее – преодолевая на каждом шаге все более короткий отрезок пути. Потому что в 3-адике прибавление втрое большего количества переносит тебя на втрое меньшее расстояние. Пятерка сама по себе довольно близка к одной второй, но четырнадцать находится еще ближе, сорок один – тем более. Потому что удвоив каждое из этих чисел, ты всегда получишь в результате единицу… с небольшой добавкой, которая равна многократному произведению тройки на саму себя и с ростом числа произведений все меньше и меньше отличается от нуля.